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Smiley Re: Aufgabe: Vektorraum, Polynome.
Hi,



ich bitte zu entschuldigen, wenn ich in einigen Faellen nur die englischen Bezeichnungen kenne:



Erste Aufgabe:

a) Surjektiv heisst, dass der "Range" (Wertebereich?) der Transformation gleich der "Codomain" ist. Die Funktionswerte sind hier in P2, Codomain ist P3 (laut Aufgabenstellung) also nicht surjektiv.

b) Der "Kernel" oder Kern ist die Menge aller Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden, hier also die Menge aller Vielfachen des Basisvektors x^0, d.h. die Menge aller Konstanten.

c) Das Dimensionstheorem besagt: Ist V ein Vektorraum und T eine darauf definierte lineare Transformation, so gilt: dim V =dim ker T + dim T(V)

wobei dim V die Dimension des Vektorraumes (Anzahl der Basisvektoren) ist, dim ker T die Dimension des Kernels von T (d.h. die Anzahl Basisvektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden) und T(V) die Dimension des Unterraumes der durch die Abbldung aufgespannt wird.

Im vorliegenden Fall ist die Dimension des Kernels 1, dim V ist 3 und dim T(V) ist 2, also ist das Theorem erfuellt.



Die zweite Aufgabe ist ganz aehnlich:

a) Injektiv heisst: Wenn p, und q Elemente des Vektorraumes V sind (d.h. Polynome) und T(p)=T(q) ist, folgt p=q. Die Abbildung ist in diesem Fall also nicht injektiv, weil alle Polynome vom Grad n, die sich nur im konstanten Term unterscheiden auf das gleiche Polynom vom Grad n-1 abgebildet werden.

b) voellig analog zur ersten Aufgabe.





Ich hoffe, ich habe mich verstaendlich ausgedrueckt.



Gruesse



Dominik

geschrieben von

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