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Smiley Aufgabe: Vektorraum, Polynome.
Hallo an alle!



ich muss schon wieder hier anklopfen.

Habe zwei alte Klausuren in die Hand bekommen und es sind diese beiden

sehr ähnlichen Aufgaben drangekommen:



Sei P3 der Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad 3 über R

und D:P3 -> P3 der Differentialoperator, der also einem Polynom

seine Ableitung zuordnet.

a, Ist D surjektiv? Begründung!

b, Ermitteln Sie den Kern von D.

c, Bestätigen Sie für dieses Beispiel die Dimensionsformel.



Sei P der Vektorraum der Polynome über R und D:P -> P der

Differentialoperator, der einem Polynom seine Ableitung zuordnet.

a, Ist D injektiv? Begründung!

b, Bestimmen Sie den Kern von D.



So, was ich denken würde:

D ist jeweils surjektiv. Leite ich allgemein ein Polynom ab:

f(x) = a3x^3 + a2x^2 + a1x^1 +a0 -> f(x)' = 3*a3x^2 + 2*a2x^1 + a1



-> Verkleinerung des Wertebereichs -> Surjektivität.

Ist das so richtig? Oder kann man das schöner formulieren?

Der Kern von D ist mir immer noch ein geheimnisvolles Rätsel, das

ich noch nicht lüften konnte.. Auch wikipedia u.ä. bringen mich da nicht

sinnvoll weiter.

Dimensionsformel:

Sei A element Hom(V, W). Dann gilt dim(Kern A) + dim(Bild A) = dim V

-> Leider habe ich nicht die leiseste Ahnung wie man die bestätigen kann.



Habt ihr ein paar Tipps für mich?



Gruß -PHANTOMIAS-
-Wir leben alle unter dem gleichen Himmel, aber wir haben nicht den gleichen Horizont-

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