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Smiley Re: Logik Aufgabe....hilfeee
Hab das von einem Poster, der das Prob mit 12 Kugeln beschreibt:





Man nummeriert die Kugel von 1 - 12, legt sie nach dem unteren Schema auf die Waagschalen und addiert die Zahlen die den Wägeergebnissen entsprechen. Es ergibt sich bis auf das Vorzeichen die Nummer der abweichenden Kugel.



Schema

Wägung Nr | links rechts | ls Ggw rs

1 | 2 4 10 11 1 5 7 8 | -1 0 +1

2 | 3 4 6 7 2 5 11 12 | -3 0 +3

3 | 5 8 9 10 6 7 11 12 | -9 0 +9



ls => links schwerer; rs => rechts schwerer, Ggw => Gleichgewicht





Ein Beispiel:

Wenn also nacheinander die linke, die rechte und dann die linke Waagschale unten ist ist das Ergebnis



(-1) +3 + (-9) = -7 => Kugel Nr. 7 hat das abweichende Gewicht



Wenn sich bei den Kugel 1, 2, 6, 7, 11, 12 das Vorzeichen + ergibt, dann ist die entsprechende Kugel schwerer, ansonsten leichter. Bei den übrigen Kugeln ist es umgekehrt. In dem obigen Beispiel ist die Kugel 7 also leichter.



Nun die grosse Frage, warum funktioniert diese Strategie?



Man stelle sich die Darstellung der ugelnummern im Zahlensystem mit der Basis 3 mit den Ziffren 1, 0, -1 vor. Statt der 4 schreibt man also 11 = 1*3 hoch 1 + 1*3 hoch 0; 2 wird dargestellt als 1(-1) = 1*3 hoch 1 + (-1)*3 hoch 0; die 7 als 1(-1)1 = 1*3 hoch2 + (-1)*3 hoch1 + 1*3 hoch 0; 12 ist dann 110 = 1*3 hoch2 +1*3 hoch1 + 1*3 hoch0; usw. Die erste Wägung fragt nun in gewisserweise nach der letzten Stelle in der Zahlendarstellung:

alle Kugeln, deren Nummern in dieser (einer-)-Stelle eine 1 haben, kommen in die rechte Schale, alle mit einer (-1) in die linke, und die mit der Null werden beiseite gelegt. Entsprechend fragt die 2. Wägung nach der vorletzten (dreier-) und die dritte Wägung nach der drittletzten (neuner-) Stelle. In dieser Form kann das Verfahren noch nicht funktionieren, weil dann nicht gleich viele Kugelnauf beiden Waagschalen zu liegen kommen. Um die Ausgewogenheit wieder herzustellen, multipliziert man gewisse Nummern mit -1, in unserem Falle 3, 4, 5, 8, 9, 10. Da die Zahlendarstellungeindeutig ist, verweist jedes Wägeergebnis auf genau eine Kugel und -über das Vorzeichen- auch darauf, ob sie leichter oder schwerer ist.

Verallgemeinert man diese, kann man mit n Wägungen (3 hoch n -3)/2 Kugeln bewältigen, bei 4 Wägungen wären das z. B. 39 Kugeln.



Diese Lösung stammt von Heinz Haber, Gründer und Herausgeber der Zeitschrift "Bild der Wissenschaft".

Ältere Semester dürften ihn auch aus seinen diversen Wissenschaftssendungen im Fernsehen kenne.





Wenn meine Finger etwas abgekühlt sind poste ich auch die Lösung zum Zahlenhaus.



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